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谱聚类(spectral clustering)原理总结

2020-11-2 14:22| 发布者: 炼数成金_小数| 查看: 19384| 评论: 0|原作者: 刘建平Pinard|来自: 刘建平Pinard-博客园的学习笔记

摘要: 谱聚类(spectral clustering)是广泛使用的聚类算法,比起传统的K-Means算法,谱聚类对数据分布的适应性更强,聚类效果也很优秀,同时聚类的计算量也小很多,更加难能可贵的是实现起来也不复杂。在处理实际的聚类问 ...
谱聚类(spectral clustering)是广泛使用的聚类算法,比起传统的K-Means算法,谱聚类对数据分布的适应性更强,聚类效果也很优秀,同时聚类的计算量也小很多,更加难能可贵的是实现起来也不复杂。

在处理实际的聚类问题时,个人认为谱聚类是应该首先考虑的几种算法之一。下面我们就对谱聚类的算法原理做一个总结。

1.1 谱聚类概述 
谱聚类是从图论中演化出来的算法,后来在聚类中得到了广泛的应用。它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点,这些点之间可以用边连接起来。距离较远的两个点之间的边权重值较低,而距离较近的两个点之间的边权重值较高,通过对所有数据点组成的图进行切图,让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低,而子图内的边权重和尽可能的高,从而达到聚类的目的。

乍一看,这个算法原理的确简单,但是要完全理解这个算法的话,需要对图论中的无向图,线性代数和矩阵分析都有一定的了解。下面我们就从这些需要的基础知识开始,一步步学习谱聚类。

1.2 谱聚类基础之一:无向权重图 


利用每个点度的定义,我们可以得到一个nxn的度矩阵D,它是一个对角矩阵,只有主对角线有值,对应第i行的第i个点的度数,定义如下:


1.3 谱聚类基础之二:相似矩阵 
在上一节我们讲到了邻接矩阵W,它是由任意两点之间的权重值组成的矩阵。通常我们可以自己输入权重,但是在谱聚类中,我们只有数据点的定义,并没有直接给出这个邻接矩阵,那么怎么得到这个邻接矩阵呢?

基本思想是,距离较远的两个点之间的边权重值较低,而距离较近的两个点之间的边权重值较高,不过这仅仅是定性,我们需要定量的权重值。一般来说,我们可以通过样本点距离度量的相似矩阵S来获得邻接矩阵W。

构建邻接矩阵W的方法有三类。ϵ-邻近法,K邻近法和全连接法。


从上式可见,两点间的权重要不就是ϵ,要不就是0,没有其他的信息了。距离远近度量很不较精确,因此在实际应用中,我们很少使用ϵ-邻近法。

第三种定义邻接矩阵W的方法是全连接法,相比前两种方法,第三种方法所有的点之间的权重值都大于0,因此称之为全连接法。

可以选择不同的核函数来定义边权重,常用的有多项式核函数,高斯核函数和Sigmoid核函数。最常用的是高斯核函数RBF,此时相似矩阵和邻接矩阵相同:


在实际的应用中,使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的,而在全连接法中使用高斯径向核RBF是最普遍的。

1.4 谱聚类基础之三:拉普拉斯矩阵 
单独把拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)拿出来介绍是因为后面的算法和这个矩阵的性质息息相关。它的定义很简单,拉普拉斯矩阵L=D−W。D即为我们第二节讲的度矩阵,它是一个对角矩阵。而W即为我们第二节讲的邻接矩阵,它可以由我们第三节的方法构建出。

拉普拉斯矩阵有一些很好的性质如下:


1.5 谱聚类基础之四:无向图切图 
对于无向图G的切图,我们的目标是将图G(V,E)切成相互没有连接的k个子图,每个子图点的集合为:


1.6 谱聚类之切图聚类 
为了避免最小切图导致的切图效果不佳,我们需要对每个子图的规模做出限定,一般来说,有两种切图方式,第一种是RatioCut,第二种是Ncut。下面我们分别加以介绍。

1.6.1 RatioCut切图

那么怎么最小化这个RatioCut函数呢?牛人们发现,RatioCut函数可以通过如下方式表示。

由于我们在使用维度规约的时候损失了少量信息,导致得到的优化后的指示向量h对应的H现在不能完全指示各样本的归属,因此一般在得到nxk维度的矩阵H后还需要对每一行进行一次传统的聚类,比如使用K-Means聚类.

1.6.2 Ncut切图

推导方式和RatioCut完全一致。也就是说,我们的优化目标仍然是


此时我们的H中的指示向量h并不是标准正交基,所以在RatioCut里面的降维思想不能直接用。怎么办呢?其实只需要将指示向量矩阵H做一个小小的转化即可。


1.7 谱聚类算法流程 
一般来说,谱聚类主要的注意点为相似矩阵的生成方式(参见第二节),切图的方式(参见第六节)以及最后的聚类方法(参见第六节)。

最常用的相似矩阵的生成方式是基于高斯核距离的全连接方式,最常用的切图方式是Ncut。而到最后常用的聚类方法为K-Means。下面以Ncut总结谱聚类算法流程。


1.8 谱聚类算法总结 
谱聚类算法是一个使用起来简单,但是讲清楚却不是那么容易的算法,它需要你有一定的数学基础。如果你掌握了谱聚类,相信你会对矩阵分析,图论有更深入的理解。同时对降维里的主成分分析也会加深理解。

下面总结下谱聚类算法的优缺点。

谱聚类算法的主要优点有:
1)谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵,因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到。

2)由于使用了降维,因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好。

谱聚类算法的主要缺点有:
1)如果最终聚类的维度非常高,则由于降维的幅度不够,谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。

2) 聚类效果依赖于相似矩阵,不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。

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